最大公约数与最小公倍数计算器
求出两个数的最大公约数和最小公倍数。
如何使用 最大公约数与最小公倍数计算器
- 输入两个整数。
- 查看它们的最大公约数和最小公倍数。
GCD via Euclid’s algorithm · LCM = a × b ÷ GCD
关于 最大公约数与最小公倍数计算器
输入两个整数,本计算器会返回它们的最大公约数——能同时整除这两个数的最大数字——以及它们的最小公倍数,即这两个数都能整除的最小数字。最大公约数通过欧几里得算法求得,而最小公倍数几乎是顺带得出的,依据的是恒等式 |a × b| ÷ 最大公约数。
欧几里得算法是至今仍在日常使用的最古老算法之一,它的巧妙之处在于它避免了什么:它从不进行任何因数分解。它依赖一个简单的观察——任何能同时整除a和b的数,也一定能整除它们的余数——于是你把数对(a, b)替换为(b, a mod b),不断重复,直到余数为零。剩下的那个数就是最大公约数。求1071和462的最大公约数只需要四步;而对它们进行因数分解要花费长得多的时间,对于大数来说,因数分解几乎是不可能完成的任务,而欧几里得算法依然很快。
它的实际用途遍布所有涉及分数的场合。最大公约数正是把18/24化简为3/4、把比例化简为最简形式所需要的工具——参见比例计算器,它内部正是这样运作的。最小公倍数则是在加分数时求公分母,以及回答"这两个周期何时再次重合"这类排期问题所需要的工具。如果你想得到具体的质因数,可以试试质数计算器。
常见问题
最大公约数有什么用?
最常见的用途是将分数和比例化简为最简形式——用分子和分母各自除以它们的最大公约数,正是"最简形式"的含义。它还出现在排期安排和密码学中。
欧几里得算法是如何运作的?
用较大的数除以较小的数,并保留余数。然后用较小的数和这个余数重复同样的操作。当余数变为零时,最后一个非零的值就是最大公约数。不需要任何因数分解。
最大公约数和最小公倍数之间有什么关系?
对任意两个非零整数,最大公约数 × 最小公倍数 = |a × b|。这就是为什么本页面在求出最大公约数后,能够立即算出最小公倍数。
我可以输入负数或小数吗?
负数是可以的——最大公约数取自它们的绝对值。小数则不行:两个输入都会被当作整数读取,并且任何一个都不能为零,因为零能被任何数整除。
如果最大公约数是1,说明什么?
说明这两个数互质——除了1之外没有其他公因数,比如16和9。它们的比例已经是最简形式,而它们的最小公倍数就是它们的乘积。